定理在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。假如函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。

定理在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f≤M。定理设函数f在闭区间[a，b]上连续，且f与f异号×f<0），那么在开区间内至少有函数f的一个零点，即至少有一点ξ在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim[f－f]/h及右极限lim[f－f]/h都存在且相等，即左导数f－′右导数f+′存在相等。

2、函数f在点x0处可导=>函数在该点处连续；函数f在点x0处连续≠>在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。

3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。

4、函数f在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数f在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。

第三章中值定理与导数的应用

1、定理假如函数f在闭区间[a，b]上连续，在开区间内可导，且在区间端点的函数值相等，即f=f，那么在开区间内至少有一点ξ假如函数f在闭区间[a，b]上连续，在开区间内可导，那么在开区间内至少有一点ξ假如函数f及F在闭区间[a，b]上连续，在开区间内可导，且F‘在内的每一点处均不为零，那么在开区间内至少有一点ξ，使的等式[f－f]/[F－F]=f‘/F‘成立。

4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞－∞、00、1∞、∞0等形式。

5、函数单调性的判定法设函数f在闭区间[a，b]上连续，在开区间内可导，那么：假如在内f‘>0，那么函数f在[a，b]上单调增加；假如在内f’<0，那么函数f在[a，b]上单调减少。

假如函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f‘=0的根及f’不存在的点来划分函数f的定义区间，就能保证f‘在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f在每个部分区间上单调。

6、函数的极值假如函数f在区间内有定义，x0是内的一个点，假如存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，ff均成立，就称f是函数f的一个极小值。

在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点。

定理设函数f在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f‘=0。定理设函数f在x0一个邻域内可导，且f’=0，那么：假如当x取x0左侧临近的值时，f‘恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f’恒为负，那么函数f在x0处取得极大值；假如当x取x0左侧临近的值时，f‘恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f’恒为正，那么函数f在x0处取得极小值；假如当x取x0左右两侧临近的值时，f‘恒为正或恒为负，那么函数f在x0处没有极值。

定理设函数f在x0处具有二阶导数且f‘=0，f‘‘≠0那么：当f‘‘<0时，函数f在x0处取得极大值；当f‘‘>0时，函数f在x0处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。

7、函数的凹凸性及其判定设f在区间Ix上连续，假如对任意两点x1，x2恒有f[/2]<[f+f]/2，那么称f在区间Ix上图形是凹的；假如恒有f[/2]>[f+f]/2，那么称f在区间Ix上图形是凸的。

定理设函数f在闭区间[a，b]上连续，在开区间内具有一阶和二阶导数，那么若在内f‘’>0，则f在闭区间[a，b]上的图形是凹的；若在内f‘’<0，则f在闭区间[a，b]上的图形是凸的。

判定曲线拐点的步骤求出f‘’；令f‘’=0，解出这方程在区间内的实根；对于中解出的每一个实根x0，检查f‘’在x0左右两侧邻近的符号，假如f‘’在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点）是拐点，当两侧的符号相同时，点）不是拐点。

在做函数图形的时候，假如函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。

第四章不定积分

1、原函数存在定理定理假如函数f在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F，使对任一x∈I都有F‘=f；简单的说连续函数一定有原函数。

分部积分发假如被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。假如被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。

2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

第五章定积分

1、定积分解决的典型问题曲边梯形的面积变速直线运动的路程

2、函数可积的充分条件定理设f在区间[a，b]上连续，则f在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。

定理设f在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f在区间[a，b]上可积。

3、定积分的若干重要性质性质假如在区间[a，b]上f≥0则∫abfdx≥0。推论假如在区间[a，b]上f≤g则∫abfdx≤∫abgdx。推论