dx。性质设M及m分别是函数f在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m≤∫abfdx≤M，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

性质假如函数f在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abfdx=f。

4、关于广义积分设函数f在区间[a，b]上除点c

直角坐标系下

极坐标系下

旋转体体积]2dx，其中f指曲线的方程）

平行截面面积为已知的立体体积dx，其中A为截面面积）

功、水压力、引力

函数的平均值*∫abfdx）

第七章多元函数微分法及其应用

1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P以任何方式趋于P0时，函数都无限接近于A，假如P以某一非凡方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。反过来，假如当P以不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。例如函数：f={0/x^2+y^2≠0

2、多元函数的连续性定义设函数f在开区域D内有定义，P0是D的内点或边界点且P0∈D，假如limf=f则称f在点P0连续。

性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。

性质在有界闭区域D上的多元连续函数，假如在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

3、多元函数的连续与可导假如一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f趋于f，但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f都趋于f。

4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。

5、多元函数可微的充分条件定理假如函数z=f的偏导数存在且在点连续，则函数在该点可微分。

6。多元函数极值存在的必要、充分条件定理设函数z=f在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必为零。

定理设函数z=f在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx=0，fy=0，令fxx=0=A，fxy=B，fyy=C，则f在点处是否取得极值的条件如下：AC－B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；AC－B2<0时没有极值；AC－B2=0时可能有也可能没有。

7、多元函数极值存在的解法解方程组fx=0，fy=0求的一切实数解，即可求得一切驻点。

对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值A、B、C。定出AC－B2的符号，按充分条件进行判定f是否是极大值、极小值。

注重：在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，假如有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑在内。

第八章二重积分

1、二重积分的一些应用曲顶柱体的体积曲面的面积+f2y]dσ）

平面薄片的质量平面薄片的重心坐标dσ，Iy=∫∫x2ρdσ；其中ρ为在点处的密度。

平面薄片对质点的引力

2、二重积分存在的条件当f在闭区域D上连续时，极限存在，故函数f在D上的二重积分必定存在。

3、二重积分的一些重要性质性质假如在D上，f≤ψ，则有不等式∫∫fdxdy≤∫∫ψdxdy，非凡地由于－